Es una rama de la matemática, que consiste en la “medición de triángulos”
Estudia las relaciones entre los ángulos y lados de los triángulos, para esto se usan razones trigonometricas, las cuales daremos a conocer a continuación:
- seno
- coseno
- tangente
Así mismo sus funciones inversas
- secante
- cosecante
- cotangente
La trigonometría se aplica cotidianamente como en la triangulación, usado para calcular distancias entre estrellas, puntos geográficos y/o locacion por satélite.
viernes, 7 de agosto de 2009
Unidades Usadas
En la trigonometría se usan 3 tipos de unidades de medida; en la vida cotidiana de usa el grado sexagesimal, en matemáticas el radián es la más utilizada, y el centesimal desarrollado como el próximo al sistema decimal, usado en topografía, arquitectura y construcción.
- Radian: unidad angular natural en trigonometría. En la cincurferencia completa hay 2π radianes.
- Grado sexadecimal: unidad angular que divide una cincurferencia en 360 grados
- Grado centesimal: unidad angular que mide la cincurferencia en 400 grados centesimales.
Como transformar los ángulos de radianes a grados
Sabemos que la circunferencia completa es igual a 360° en unidad sexadecimal y a su vez es igual a 2π radianes, así obtenemos:
360° = 2π radianes
Con esto ya podremos resolver un tipo de ejercicio, ACA
- Radian: unidad angular natural en trigonometría. En la cincurferencia completa hay 2π radianes.
- Grado sexadecimal: unidad angular que divide una cincurferencia en 360 grados
- Grado centesimal: unidad angular que mide la cincurferencia en 400 grados centesimales.
Como transformar los ángulos de radianes a grados
Sabemos que la circunferencia completa es igual a 360° en unidad sexadecimal y a su vez es igual a 2π radianes, así obtenemos:
360° = 2π radianes
Con esto ya podremos resolver un tipo de ejercicio, ACA
Grados: ejercicios resueltos
Transformar 45°, 56°
Solución
a) 45°
360° = 2π =>
45° x
x= 45 * 2π / 360
x= π
4
b) 56°
360° = 2π =>
56° x
x= 56 * 2π / 360
x= 14 π
45
Solución
a) 45°
360° = 2π =>
45° x
x= 45 * 2π / 360
x= π
4
b) 56°
360° = 2π =>
56° x
x= 56 * 2π / 360
x= 14 π
45
Grados: ejercicios propuestos
Transformar a:
*Grados:
a) 180°
b) 23°
c) 465°
*Radianes:
a) 2 π
b) π
c) 3/4π
*Grados:
a) 180°
b) 23°
c) 465°
*Radianes:
a) 2 π
b) π
c) 3/4π
Relaciones Trigonometricas
De la siguiente figura se desprenden todas las relaciones explicadas a continuacion:
SENO
Es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa, se abrevia como "sen"
Podemos ver como se grafica el seno entre 0 y 2pi
En un triangulo cualquiera, los lados son entre sí como los senos de los ángulos opuestos, de acuerdo a esto:
COSENO
Es la razón entre el cateto adyacente sobra la hipotenusa, se abrevia como "cos"
A continuación se adjunta la gráfica del coseno con valores del eje x en grados sexagesimales
De la misma forma anterior, para el coseno: "En cualquier triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman".
Demostramos lo anterior:
Lo demas queda de tarea y ejercitación...
TANGENTE
Corresponde a la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente, se abrevia como "tan" o "tg"
A continuación se muestra la grafica de la tangente, con valores en x en grados sexagesimales:
Así mismo, se definen las funciones inversas a estas anteriores:
Funciones Inversas o Recíprocas
COSECANTE
Abreviado como "csc" o "cosec", es la razon reciproca del seno, o tambien su inverso multiplicativo.
SECANTE
Abreviado como "sec" , es la razon reciproca del coseno, o tambien su inverso multiplicativo.
COTANGENTE
Abreviado como "cotg" o "cotan", se aplica a la razon reciproca de la tangente.
SENO
Es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa, se abrevia como "sen"
Podemos ver como se grafica el seno entre 0 y 2pi
En un triangulo cualquiera, los lados son entre sí como los senos de los ángulos opuestos, de acuerdo a esto:
a : b : c = sen a : sen b : sen g
que tambien lo podemos expresar como:
Esto se demuestra de la siguiente manera:
De un triangulo cualquiera ABC, se trazan las alturas Hc y Hb
En el triángulo ACD obtenemos que 
y en el triángulo BCD que 
, haciendo la razón entre ambas expresiones resulta:
Luego 
, o lo que es lo mismo: 
(1)
Trabajemos ahora en el triángulo ABE:
y en el triángulo CEB:
haciendo la razón entre ambos senos obtenemos:
Luego 
, que es equivalente a 
(2)
De las anterior (1) y (2) queda demostrado que:
Esta igualdad se denomina "Teorema del Seno"
Es la razón entre el cateto adyacente sobra la hipotenusa, se abrevia como "cos"
A continuación se adjunta la gráfica del coseno con valores del eje x en grados sexagesimales
De la misma forma anterior, para el coseno: "En cualquier triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman".
a2 = b2 + c2 - 2bc cos a
b2 = a2 + c2 - 2ac cos b
c2 = a2 + b2 - 2ac cos g
Comenzamos trazando la altura hc del triángulo ABC dado y designamos por p y q los segmentos formados por esta altura.
Si observamos bien, en el triángulo DBC obtenemos, por Pitágoras, obviamente, que:
hc2 + p2 = a2 o sea:
hc2 = a2 - p2
mientras que el triángulo ADC determinamos que:
hc2 + q2 = b2 o sea:
hc2 = b2 - q2
Estos pasos nos llevan a la conclusión que a2 - p2 = b2 - q2 lo que implica que
a2 = b2 - q2 + p2
pero p = c - q, lo que al reemplazar en la expresión anterior permite obtener que:
a2 = b2 - q2 + (c - q)2 , desarrollando resulta a2 = b2 - q2 + c2 - 2cq + q2 , simplificando:
a2 = b2 + c2 - 2cq , pero cos a = q/b de donde q = b cos a.
Luego a2 = b2 + c2 - 2bc cos a
Lo demas queda de tarea y ejercitación...
TANGENTE
Corresponde a la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente, se abrevia como "tan" o "tg"
A continuación se muestra la grafica de la tangente, con valores en x en grados sexagesimales:
Así mismo, se definen las funciones inversas a estas anteriores:
Funciones Inversas o Recíprocas
COSECANTE
Abreviado como "csc" o "cosec", es la razon reciproca del seno, o tambien su inverso multiplicativo.
SECANTE
Abreviado como "sec" , es la razon reciproca del coseno, o tambien su inverso multiplicativo.
COTANGENTE
Abreviado como "cotg" o "cotan", se aplica a la razon reciproca de la tangente.
Identidades trigonometricas
Una identidad es una igualdad en que siempre se cumple para todos los valores posibles de la variable:
Identidades Fundamentales
Suma y Diferencia de angulos
Angulo Doble
Angulo Medio
Identidades Fundamentales
Suma y Diferencia de angulos
Angulo Doble
Angulo Medio
Ejercicios Propuestos
1. Demuestra, utilizando para ello las definiciones de las funciones trigonométricas dadas, las siguientes relaciones:
a)
b)
2. En la siguiente figura, calcula las funciones trigonemétricas del ángulo a siendo:
a) AC = 6 cm. y BC = 8 cm.
b) BC = cm. y AB 3 cm.
3. Si a es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y sen a = 1/3, determina tg a y sen(90 - a).
4. Sabiendo que sen 28º = 0,469; calcula:
a) cos 28º
b) tg 28º
c) cosec 28º
5. Si sen b = p, determina cos b.
6. Si cos a = a, determina cot a.
7. Calcula las siguientes expresiones:
a) 5 cos a - 2 sen a + cot a, si sen a = 0,6.
b) 2 sen a + cos a - 2 cosec a, si sec a = 2.
8. En el triángulo ABC de la figura, AC = 10 cm. y AB = 4 cm. Si el área de dicho triángulo es 12 cm2, determina el valor de sen a y de a.
9. En un triángulo ABC, rectángulo en C, AB = 4 cm. y tg a = 5/12, entonces, ¿cuánto mide BC?
10. Si x = cos a y sen a = y:5, determina el valor numérico de 25x2 + y2.
a)
b)
2. En la siguiente figura, calcula las funciones trigonemétricas del ángulo a siendo:
a) AC = 6 cm. y BC = 8 cm.
b) BC = cm. y AB 3 cm.
3. Si a es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y sen a = 1/3, determina tg a y sen(90 - a).
4. Sabiendo que sen 28º = 0,469; calcula:
a) cos 28º
b) tg 28º
c) cosec 28º
5. Si sen b = p, determina cos b.
6. Si cos a = a, determina cot a.
7. Calcula las siguientes expresiones:
a) 5 cos a - 2 sen a + cot a, si sen a = 0,6.
b) 2 sen a + cos a - 2 cosec a, si sec a = 2.
8. En el triángulo ABC de la figura, AC = 10 cm. y AB = 4 cm. Si el área de dicho triángulo es 12 cm2, determina el valor de sen a y de a.
9. En un triángulo ABC, rectángulo en C, AB = 4 cm. y tg a = 5/12, entonces, ¿cuánto mide BC?
10. Si x = cos a y sen a = y:5, determina el valor numérico de 25x2 + y2.
Contacto
Si tienes alguna duda o consulta, o haz resuelto los ejercicios, comunicate con nosotros a los correos indicados:
Francisco Parada - ellokobowsone@gmail.com
Rodrigo Canales - rodrigo_dartagnan@hotmail.com
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Nicolas Flores - nico_dnu@hotmail.com
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lunes, 27 de octubre de 2008
Introduccion
A grandes rasgos, Sección Cónica es la curva de intersección de un cono con un plano, la cual no pasa por el vertice.
La siguiente pagina esta dedicada a la explicación y funcionamiento de todas estas secciones cónicas, tales como Elipse, Circunferencia, Parábola e Hipérbola y así tambien la Recta.
Se estudiará el cambio en las curvas cuando se alteren las variables y constantes, todo en dibujos explicativos
Hipérbola
Parábola
Elipse
Círculo
La siguiente pagina esta dedicada a la explicación y funcionamiento de todas estas secciones cónicas, tales como Elipse, Circunferencia, Parábola e Hipérbola y así tambien la Recta.
Se estudiará el cambio en las curvas cuando se alteren las variables y constantes, todo en dibujos explicativos
Hipérbola
Parábola
Elipse
Círculo
Hipérbola
Del griego ὑπερβολή , hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano, tal que la diferencia de la distancia a dos puntos fijos llamados focos, es siempre constante.
En esta ocasión, definiremos las curvas horizontales y verticales, las cuales tienen sus Focos y Vertices en el eje X e Y respectivamente, y ambas de centro ( h , k )
En esta ocasión, definiremos las curvas horizontales y verticales, las cuales tienen sus Focos y Vertices en el eje X e Y respectivamente, y ambas de centro ( h , k )
Horizontales
Ecuación General
Donde
Vertices
El Segmeto V1V2 se denomina Eje Real = 2a
El Segmento W1W2 se denomina Eje Conjugado = 2b
Asíntotas
Variación de la curva según componentes en la ecuación
"""""""
Verticales
Ecuación General
Donde
Vertices
Asíntotas
Variación de la curva según componentes en la ecuación
Ecuación General
Focos
Donde
Vertices
El Segmeto V1V2 se denomina Eje Real = 2a
El Segmento W1W2 se denomina Eje Conjugado = 2b
Asíntotas
Variación de la curva según componentes en la ecuación
"""""""
Verticales
Ecuación General
Focos
Donde
Vertices
Asíntotas
Variación de la curva según componentes en la ecuación
Parábola
Del griego παραβολή, es el lugar geometrico de todos los puntos en el plano, tal que la distancia a un punto fijo llamado Foco, es igual a la distancia a una recta fija llamada Directriz
Se distinguen 3 tipos de parábolas, de las cuales analizaremos 2;
Paralela al Eje X
(Concavidad hacia arriba o hacia abajo)
con p mayor que 0
La distancia entre el Foco y el Vértice, es siempre igual a la distancia entre el Vértice y la directriz
Ecuación General
Foco
Directriz
***************************************
Paralela al Eje Y
(Concavidad hacia la izquierda o la derecha)
con p menor que 0
La distancia entre el Foco y el Vértice es siempre igual a la distancia entre el Vértice y la directriz
Ecuación General
Foco
Directriz
Se distinguen 3 tipos de parábolas, de las cuales analizaremos 2;
Ambas curvas comparten el segmento "Lado Recto"
cuya longitud es:
LR = |4p|
cuya longitud es:
LR = |4p|
Paralela al Eje X
(Concavidad hacia arriba o hacia abajo)
con p mayor que 0
La distancia entre el Foco y el Vértice, es siempre igual a la distancia entre el Vértice y la directriz
Ecuación General
Foco
Directriz
***************************************
Paralela al Eje Y
(Concavidad hacia la izquierda o la derecha)
con p menor que 0
La distancia entre el Foco y el Vértice es siempre igual a la distancia entre el Vértice y la directriz
Ecuación General
Foco
Directriz
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