Relaciones Trigonometricas

De la siguiente figura se desprenden todas las relaciones explicadas a continuacion:

SENO

Es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa, se abrevia como "sen"



Podemos ver como se grafica el seno entre 0 y 2pi



En un triangulo cualquiera, los lados son entre sí como los senos de los ángulos opuestos, de acuerdo a esto:

a : b : c = sen a : sen b : sen g

que tambien lo podemos expresar como:

Esto se demuestra de la siguiente manera:

De un triangulo cualquiera ABC, se trazan las alturas Hc y Hb

En el triángulo ACD obtenemos que y en el triángulo BCD que , haciendo la razón entre ambas expresiones resulta:

Luego , o lo que es lo mismo: (1)

Trabajemos ahora en el triángulo ABE:

y en el triángulo CEB:

haciendo la razón entre ambos senos obtenemos:

Luego , que es equivalente a (2)

De las anterior (1) y (2) queda demostrado que:

Esta igualdad se denomina "Teorema del Seno"

COSENO

Es la razón entre el cateto adyacente sobra la hipotenusa, se abrevia como "cos"



A continuación se adjunta la gráfica del coseno con valores del eje x en grados sexagesimales




De la misma forma anterior, para el coseno: "En cualquier triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman".

a² = b² + c² - 2bc cos a

b² = a² + c² - 2ac cos b

c² = a² + b² - 2ac cos g

Demostramos lo anterior:

Comenzamos trazando la altura h_c del triángulo ABC dado y designamos por p y q los segmentos formados por esta altura.

Si observamos bien, en el triángulo DBC obtenemos, por Pitágoras, obviamente, que:

h_c² + p² = a² o sea:

h_c² = a² - p²

mientras que el triángulo ADC determinamos que:

h_c² + q² = b² o sea:

h_c² = b² - q²

Estos pasos nos llevan a la conclusión que a² - p² = b² - q² lo que implica que

a² = b² - q² + p²

pero p = c - q, lo que al reemplazar en la expresión anterior permite obtener que:

a² = b² - q² + (c - q)² , desarrollando resulta a² = b² - q² + c² - 2cq + q² , simplificando:

a² = b² + c² - 2cq , pero cos a = q/b de donde q = b cos a.

Luego a² = b² + c² - 2bc cos a

Lo demas queda de tarea y ejercitación...



TANGENTE

Corresponde a la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente, se abrevia como "tan" o "tg"



A continuación se muestra la grafica de la tangente, con valores en x en grados sexagesimales:



Así mismo, se definen las funciones inversas a estas anteriores:

Funciones Inversas o Recíprocas

COSECANTE

Abreviado como "csc" o "cosec", es la razon reciproca del seno, o tambien su inverso multiplicativo.



SECANTE

Abreviado como "sec" , es la razon reciproca del coseno, o tambien su inverso multiplicativo.



COTANGENTE

Abreviado como "cotg" o "cotan", se aplica a la razon reciproca de la tangente.